ルービックキューブと群論

久しぶりにルービックキューブを手にした。大流行したのは1980～1981年。今から25年前である。

結晶学における一連の空間群の話を思い出して、ルービックキューブは「群論」を使えば、解けると直感したことがあった。化学者が思いつくようなことを、数学者が思いつかないわけはなく、『数学セミナー』の1981年8月号に既に「ルービック・キューブで群論を学ぼう」が特集されていた。うちの図書館に『数学セミナー』のバックナンバーがあったので、調べてみた。夏休みの道楽である。

まず、通常の3×3×3タイプのルービックキューブの組み合わせは何通りあるかを考える。

ルービックキューブは

　辺央（辺の中央）にあるパーツ（2面に色シールがある）　12個

　頂点にあるパーツ（3面に色シールがある）　8個

　面心（面の中心）にあるパーツ（1面に色シールがある）　6個

から成っている。

もし、ルービックキューブを回転させるのではなく、キューブを機械的に解体し、パーツごとにバラバラにして、もう一度、組みなおす場合、できる模様の種類が何通りあるかは、高校の数学の範囲で簡単にもとまる。面心は動かないので、上記の辺中央、頂点をそれぞれに分けて模様が何通りあるかを考えて、それを後でかければよい。

　辺中央の配置は何通りあるか：　12個を順に配置する並べ方に加えて、12個それぞれについて色の入れ替えが2通りあるので、

　　　12!×2^12通り　・・・(1)

　頂点の配置は何通りあるか：　8個を順に配置する並べ方に加えて、8個それぞれについて色の入れ替えが3通りあるので

　　　8!×3^8通り　・・・(2)

(1)と(2)をかけたものが、いったんバラバラにパーツをはずして組みなおすときの配置の数である。

ここまでなら高校数学だが、キューブを機械的に解体するのではなく、6面そろった段階からまじめにカチャカチャ回転させて、到達できる配置の数は上の(1)×(2)よりも少なくなる。

ルービックキューブの6面を完成できる人なら、経験上、知っている人が多いが、辺中央のパーツがひとつだけひっくりかえった状態（６面完成した状態から見て、1箇所だけ色が入れ替わった状態）は、6面完成状態から、回転操作では到達できないのである。到達できるできないの判断になると群論が登場する。

辺中央部に関して、色が入れ替わっている数の合計は偶数でないと、6面完成状態から到達できないのである。これを第１パリティ則といい、この規則は群論で導ける。色が入れ替わっている数の合計が奇数の状態は、到達できないので、ここで到達できる配置の数は(1)×(2)の半分になる。

さらに、頂点部については、色が入れ替わっている数の合計が3の倍数でないと、6面完成状態から到達できない。これを第2パリティ則という。だから、到達できる配置の数は上のさらに3分の１となる。

さいごに、忘れがちであるのだが、頂点部の２か所を入れ替える操作をすると、どうやっても必ず辺中央部の２か所も一緒に入れ替わってしまうことが知られている。このため、さらに、残りの半分はカチャカチャ回す回転操作では到達できないことになる。

結局、6面完成状態から回転操作で到達できる配置の種類は

12!×2^12×8!×3^8／（2×3）／2

＝43,252,003,274,489,856,000 通り

となる。

余談だが、市販のルービックキューブでは面心部のパーツの向きがどうでもよくなっている。たとえば緑色の面心部のパーツで、崩す前は白色側にあった辺が、崩した後、もう一度完成させると青色側に来ているということもあるらしい。つまり、崩す前、全部のパーツに文字を書いておけば、完成後、面心部に書いた文字だけ向きが違うこともあるということだ。数学的には、面心部のパーツの向きまで含めて考えた方が洗練されたものとなるらしい。