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2007年2月25日 (日)

音の大きさは距離の二乗に反比例する!?

1983年の夏休み前、中3のときだったが、期末試験が終わってから終業式までの間、休みが数日あって(なぜかそういう休みが存在していた)、その間に全校委員会(生徒会)主催でスポーツ大会をやることになった。A組からC組までクラス対抗での大会だったが、大会前に士気を高めるため、これまたクラス対抗で大声出し大会というのをやった。みんなで大きな声を出して、一番大きな声を出した組にポイントが加算される趣向だった。

組ごとに大声を出したら、A組100デシベル、B組110デシベル、C組100デシベルみたいな結果だった。B組の勝利!と司会が叫びかけた瞬間、化学の教師でもあるS副校長が司会のマイクをとってこう言われた。

音の大きさは距離の二乗に反比例するのであって、測定器を各組の前に動かして測定して欲しい」

もっともな指摘で、私はこの指摘で「音の大きさは距離の二乗に反比例する」ことと、学問を実際に役立てるのはカッコイイということを知った。測定器を動かした結果、数値は接戦となったと記憶している。

でも、腑に落ちなかったのは、距離の二乗に反比例するという割には数値の差は小さく、100と110で1.1倍しか変わっていなかった

で、音の大きさとデシベルの話

点の形をした音源(点音源)から出た音は、点音源を中心とした球面状に広がっていく。球面の面積は半径の二乗に比例するから、球面上の単位面積あたりに到達する音のエネルギーは距離(半径)の二乗に反比例して減少していくことになる。地面による反射などは考えないものとする。

実は、音の大きさを表すデシベル(dB)という単位は、音のエネルギーの対数(log)をとったものである。これは人間の耳の感覚にあわせるためである。かすかに聞こえる音と耳が痛いほどの大きな音は、音のエネルギーで表記すると10桁以上の違いがあるが、それだけ桁の違う数で表記するのは面倒なので、対数をとるわけである。

10デシベル増えると(足し算)、音のエネルギーは10倍になる(かけ算)。

10デシベル減ると(引き算)、音のエネルギーは10分の1になる(割り算)。

なので厳密に言うと「音の大きさ(デシベル)は、距離の対数に比例して減少する(負の比例係数)」となる。

デシベル(dB)の換算は、以下のように単位によって紛らわしいので注意

エネルギー(J)、電力(W)などエネルギーに比例する単位の場合

 10デシベル増えると(足し算)、10倍になる(かけ算)。

 10デシベル減ると(引き算)、10分の1になる(割り算)。

電圧、電流、音圧などの場合(二乗するとエネルギーの次元になる単位の場合)

 20デシベル増えると(足し算)、10倍になる(かけ算)。

 20デシベル減ると(引き算)、10分の1になる(割り算)。

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