３個の中から１個の当たりを選ぶときの不思議な確率の話 モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題（Monty Hall problem）と呼ばれる単純で不思議な確率の話がある。ウィキペディアによると数学者でさえ正答に対して、反論したという。

問題は至ってシンプルである。

司会者が３個の箱Ａ、Ｂ、Ｃを客に見せる。そのうち１個にだけ当たりの景品が入っていて、残りの２個はハズレの空箱とする。客はどれが当たりかを知らない。客に１個を選ばせて、客がＢの箱を選んだとする。司会は選ばれなかった２個のうち、１個をあけて、それがハズレであることを客に見せる。このとき、司会はどれが当たりでどれがハズレかを知っていて、必ずハズレの箱をあけるものとする。今は箱Ａをあけたとしよう。

司会はこの後、選択を変更できることを客に伝え、はじめ選んだ箱Ｂのままでいくか、それともまだあけていないもう１個の箱Ｃを選びなおすか、質問する。

このとき客は、選択する箱をもう１個に変更したほうがよいか、はじめのままでいくのがよいか？

というのが問題である。

この問題を出すと、Ｂが当たるのも、Ｃが当たるのも確率はそれぞれ２分の１だから、どっちでもよいという説。だいたい普通は、この説が多数派になる。これを２分の１説と呼ぶことにする。

これに対して、司会が箱Ａがハズレであることを明かした時点で、Ａが当たる確率であった３分の１が、Ｃが当たる確率に加わるので、Ｃの当たる確率は３分の２になる。だから、Ｃに変更する方が当たる確率が上がる。選択を変更すべきという説である。これを３分の２説と呼ぶことにする。

この問題を提示すると、ディベートのように議論が白熱して、その場では多数派が正解とされかねないことが多いのだが、結論から言うと、選択を変更すべきという３分の２説が正しい。こっちを主張して、納得する人は少数派だがこちらが正解である。実際、誰か相手を見つけてやってもらうと、選択を変更する方が当たる確率が上がる。

直観的に説明すれば、司会者がＣをあけずに残したのは、Ｃが当たりであることを知っていたからという可能性が高い。司会者がＣを開けずに、Ａを開けた時点で、客にＡではなく、Ｃが当たりの可能性が高いという情報を伝えてしまっているのである。Ｂは客が選んでいてルール上、司会者は開けられないので、司会者の行動は、Ｂに関する情報を増やさない（はじめの確率３分の１のまま）。もし、ＡかＣかというなら、Ｃですよという情報を客に伝えてしまったわけである。

もっと直観的なイメージでとらえるなら、１０個の箱があって、当たりがそのうち１個ある。司会者がそのうち８個のハズレの箱をあけてくれたときを考えればよい。残りの１個を開けなかったのはそれが当たりだからという理由の可能性が高い。客が選んだ箱を司会者が開けなかったのは客が選んでいるからである。感覚的説明では納得いかない人のために、数学（算数）的に、すべてのケースについてシミュレーションしてみると以下の表のようになる。

 

客がＢを選んで、司会がＡを開けた時点で残される可能性は、黄色く塗った部分だけである。

当初、Ｃが当たり（and　客がＢ選ぶ　and　司会がＡ開ける）は９分の１、Ｂが当たり（and　客がＢ選ぶ　and　司会がＡ開ける）は１８分の１の確率であった。他の可能性が消えたので、これらの比２：１を合計が１になるように直すと、Ｃが当たりは３分の２、Ｂが当たりは３分の１の確率となる。