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2008年5月31日 (土)

3個の中から1個の当たりを選ぶときの不思議な確率の話 モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題(Monty Hall problem)と呼ばれる単純で不思議な確率の話がある。ウィキペディアによると数学者でさえ正答に対して、反論したという。

問題は至ってシンプルである。

司会者が3個の箱A、B、Cを客に見せる。そのうち1個にだけ当たりの景品が入っていて、残りの2個はハズレの空箱とする。客はどれが当たりかを知らない。客に1個を選ばせて、客がBの箱を選んだとする。司会は選ばれなかった2個のうち、1個をあけて、それがハズレであることを客に見せる。このとき、司会はどれが当たりでどれがハズレかを知っていて、必ずハズレの箱をあけるものとする。今は箱Aをあけたとしよう。

司会はこの後、選択を変更できることを客に伝え、はじめ選んだ箱Bのままでいくか、それともまだあけていないもう1個の箱Cを選びなおすか、質問する。

このとき客は、選択する箱をもう1個に変更したほうがよいか、はじめのままでいくのがよいか?

というのが問題である。

この問題を出すと、Bが当たるのも、Cが当たるのも確率はそれぞれ2分の1だから、どっちでもよいという説。だいたい普通は、この説が多数派になる。これを2分の1説と呼ぶことにする。

これに対して、司会が箱Aがハズレであることを明かした時点で、Aが当たる確率であった3分の1が、Cが当たる確率に加わるので、Cの当たる確率は3分の2になる。だから、Cに変更する方が当たる確率が上がる。選択を変更すべきという説である。これを3分の2説と呼ぶことにする。

この問題を提示すると、ディベートのように議論が白熱して、その場では多数派が正解とされかねないことが多いのだが、結論から言うと、選択を変更すべきという3分の2説が正しい。こっちを主張して、納得する人は少数派だがこちらが正解である。実際、誰か相手を見つけてやってもらうと、選択を変更する方が当たる確率が上がる。

直観的に説明すれば、司会者がCをあけずに残したのは、Cが当たりであることを知っていたからという可能性が高い。司会者がCを開けずに、Aを開けた時点で、客にAではなく、Cが当たりの可能性が高いという情報を伝えてしまっているのである。Bは客が選んでいてルール上、司会者は開けられないので、司会者の行動は、Bに関する情報を増やさない(はじめの確率3分の1のまま)。もし、AかCかというなら、Cですよという情報を客に伝えてしまったわけである。

もっと直観的なイメージでとらえるなら、10個の箱があって、当たりがそのうち1個ある。司会者がそのうち8個のハズレの箱をあけてくれたときを考えればよい。残りの1個を開けなかったのはそれが当たりだからという理由の可能性が高い。客が選んだ箱を司会者が開けなかったのは客が選んでいるからである。感覚的説明では納得いかない人のために、数学(算数)的に、すべてのケースについてシミュレーションしてみると以下の表のようになる。

Monty_4 

客がBを選んで、司会がAを開けた時点で残される可能性は、黄色く塗った部分だけである。

当初、Cが当たり(and 客がB選ぶ and 司会がA開ける)は9分の1、Bが当たり(and 客がB選ぶ and 司会がA開ける)は18分の1の確率であった。他の可能性が消えたので、これらの比2:1を合計が1になるように直すと、Cが当たりは3分の2、Bが当たりは3分の1の確率となる

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