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2008年6月 3日 (火)

「最小時間の原理(フェルマーの原理)」と「最小作用の原理」

物理法則の中には、人類の世界観や哲学にまで影響を与えるものがある。

「フェルマーの原理」や「最小作用の原理」がその代表例である。これらの法則は一見、神秘的な不思議さをもつので、18世紀中頃にはイデオロギー論争まで巻き起こした。これらは純粋に数学的、物理的な原理に過ぎないのだが、その不思議さゆえ、背景に神学的な観念を見いだそうとする人々がいた。

■ フェルマーの原理(最小時間の原理)

真空中の光速は3.0×108m/sだが、物質中を通過するときの光速は、物質の屈折率で真空中の光速を割ったものになる。空気の屈折率は1だが、水の屈折率は1.33なので、水中を光が通過するとき、光速は真空中の1.33分の1、ほぼ75%まで減っている。

さて、空気中のA点から、水中のB点まで光が進むことを考える。よく知られているように下図の実線のように、境界面にあるC点で少し折れ曲がって、B点に到達する。C点でこういう折れ曲がり方をするのは、水と空気の屈折率が異なるためである。

それぞれの入射角のsinをとったものの比が、それぞれの屈折率の逆数の比に等しいというスネルの法則で角度を求めることができる。

Fermat1

光の進む経路は、上に述べたような計算で求まるのであるが、この経路は実は他の経路、例えばAからBまでまっすぐ直線で向かうだとか、A→X→Bの順で向かうだとかのどんな他の経路よりも、必ず早く着くようになっている。光は水中で遅く、空気中で速いので、水中を進む距離はできるだけ短い方がいいが、かといってあまり短くすると空気中の距離が長くなりすぎて、逆に時間がかかる。この2つがちょうどよいバランスになって、最小時間となったのが、実際の経路である。まるで、光は最小時間となる経路を探し当てたかのように、最小時間となる経路を進む

光がそんなことを考えながら、つまり経路を探索しながら、進むのかという点がポイントである。

私は高校時代、この話を聞いたとき、隣席の友人と、「光がそんなことを考えながら進むんかいな?」と言い合った記憶がある。

光は別に考えながら進むわけではない。水と空気の境界面で電磁場の強度が連続であるという条件から導き出されるスネルの法則に従って、経路をとれば、それが最小時間の経路だったというだけである。つまり、直線XC上に様々な通過点を考えて、AからBまでの所要時間を式にして微分すると、所要時間が極小となる条件式が求まる。この条件式が、スネルの法則の式と同じになるということだ。普通は、このように説明される。

しかし、量子力学的な見地からは、光は経路を探索しながら進んでいるという見方が可能である。光はすべての可能性のある軌道を試してみるのだが、実際の軌道以外の軌道同士は互いに打ち消しあうので、実際の軌道だけが残る。スリットを通過する波を考えたとき、スリットが狭い方が、スリット通過後の拡がり角が大きくなるのもこれが理由である(狭いと打ち消しあう割合が少なく、広いと打消し合う割合が多い)。(『ファインマン物理学第2巻 光、熱、波動』 1章)。

これは光の話だから、量子力学的に考えるのなら、こういう解釈もありかなと理解できる。大きな物体が運動するときに似たような法則があったとしたら、どう考えればよいのだろうか・・・。

■ 最小作用の原理

『ファインマン物理学第3巻 電磁気学』(岩波書店)の巻末には、ファインマンの特別講義を「大体話した通り」に収録した<補章>が存在する。「これは"余興"のつもりである」という前置きの後、『最小作用の原理』について講義がなされている。

ファインマンは講義の冒頭

私がハイスクールのとき、物理の先生 -Bader先生- があるとき物理の講義のあとで私をよんで言った。’君は退屈しているようだ。少し面白い話をしてやろう。’先生は少し話をしてくれたがそれは私にとって全く魅力的であって、それ以来ずっと魅力を感じている。その主題が出てくるたびに、私はやってみる。事実この講義を用意し始めたとき、いつのまにかこの問題についてさらに分析を進めていた。講義のことなんか忘れて、新しい問題にとりくんだ。その主題がこれ -最小作用の原理- である。

と述べている。ファインマンはノーベル物理学賞を受賞したほどの人なので、ハイスクールの物理の授業のときに退屈していたというのも、うなずける。さらに、ファインマンの研究業績の多くは、最小作用の原理を使ったものだが、これがハイスクールのときに聞いた面白い話しがきっかけになり、基礎になっているというのが面白い。

多くの科学者がフェルマーの原理に触発されて、似たような原理が力学的運動にもあるはずではないかと必死に探索を行っていたところ、同様な考え方をする原理が、オイラーやモーペルテュイといった天才たちによって発見されたのである。それが「最小作用の原理」である。

物体を投げたときの運動でも、振り子が揺れる運動でも何でもいいのだが、物体がA点からB点まで、ある時間をかけて移動したとする。さらに、A点からB点まで同じ時間をかけて移動する他の経路を仮想的に考える。

「運動エネルギー - 位置エネルギー」 の値を、A点からB点までの時間で積分した数値を求めると、この値は実際の経路が、仮想的な他の経路よりも必ず小さくなっている。これが「最小作用の原理」である。「運動エネルギー - 位置エネルギー 」 を時間で積分したものを、「作用」と呼んでいるので、「最小作用の原理」とよばれる。

物体が実際に通る経路は、「運動エネルギー - 位置エネルギー」の時間積分が最小(極小)となる経路であるということは、ニュートンの運動方程式 F = ma と等価である。「運動エネルギー - 位置エネルギー」をラグランジアンと呼ぶが、ラグランジアンが一般的にこの形をしているわけではなく、ニュートンの運動方程式のラグランジアンが「運動エネルギー - 位置エネルギー」の形をしているというのが正確である。

なぜこうなるのか、こういう原理が存在するのかについて、理解するには、変分原理(オイラーの方程式)、部分積分(これは高校で習う)が予備知識として必要である。

ここら辺の話は、『解析力学』の名前で出ている専門書に詳しい。「解析力学」は、以前は地味な学問分野だったらしいが、量子力学の登場とコンピュータの発達で、最小作用の法則を用いた計算がふんだんに行われるようになって、華やかな分野に成り代わった。

ちなみに、『ランダウ・リフシッツ 理論物理学教程 力学』(東京図書)は力学の教科書だが、いきなり1巻の冒頭から最小作用の法則の説明で面食らう。普通の力学の教科書と異なり、運動方程式の説明が、最小作用の法則で導入されている。少なくとも初学者向けではない。

■ 最小発熱の原理

以上の法則の類型で、最小発熱の原理が存在する。不均質な物質中を電流が流れるとき、発生するジュール熱が最小となるように電流が分布するというものである。

この法則を使って、多相系の電気伝導率、特に金属・絶縁体混合物に見られるパーコレーションなどを説明できないものかと考えている。

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コメント

ブログ主の露本様

初めまして。
物理ファンのjh6noa(YAHOO掲示板のI.D.)と申します。
光が物質中を伝播中は、物質の誘電率と透磁率の積の平行根に逆比例して速度が低下すると考えられています。
私は、重力場での光の曲がり(重力レンズ効果)と同様に、常に光速cで運動している光が電磁場で曲げられる事で、物質を構成している原子を通過する度に滑らかなジグザグ運動を行う事による通過距離が伸びる事で所要時間が延びる事となり、肉眼的には真っ直ぐ進行している様に見える為に、光の所要時間が延びる事で光の速度が低下した様に観測される事となると考えています。
幾何光学では、肉眼的な通過距離と屈折率の積としての光学的距離(光は光速)という物理量を設定して、屈折や反射の現象をフェルマーの原理を使って説明しています。

光学的距離に関する文献を探している内に、先生のブログに辿り着きました。
これまでのあやふやでばらばらな断片的な知識のジグゾー・パズルが一気に解決しました。
有り難うございました。

投稿: jh6noa | 2008年7月 6日 (日) 12時20分

 私は習ったことが無いので、最小作用の原理についてお聞きしま
す。

 最小作用の原理ではラグランジュアンの停留点となる解を探すそうです。

 このラグランジュアンの停留点をみると、その性質から私には共鳴点における停留、共振点にみえるのです。

 最小作用の原理を習ったかたは、先生の講義のなかで、ラグランジュアンの停留点について、共鳴となにか関連有りそうな、または共鳴とみなしてはいけないというような説話を聴いてはいないでしょうか。

 そういう共鳴に関する話があったら何でもよいので教えて下さい。とっても興味があります。

 ラグランジュアンの計算をすると、なぜか、加速度とか万有引力、屈折の公式の含まれた関数形で最少作用の原理の解が成立するそうです。

 最少作用の原理の中で、加速度や万有引力が含まれ解決する不思議は、もし世の万物の運動のずべてが共鳴の一形態なら、むしろ当然に成り立つことでしょう。
 

 そして、この世のいろいろな現象をかえりみると高校の地学で習った節理という岩石の形状が共鳴の結果かもしれないと気が付きました。

 だから私はこの世が共鳴しているのではないかと疑いを持ちました。

 節理は結晶の形状のひとつと同形に見える大きな岩石の形です。

 ところで結晶には分子という結晶形状の最小単位があります。

 ところが節理には分子の様な最小単位の結晶形状が決定できません。

 不思議を私は分子の様な結晶の単位が無い節理の形状に感じました。

 なのに結晶と同じように節理には大小のスケールがあり、同じ形状を保ちます。

 節理には結晶のような分子の単位がないので、形状の成り立ちを分子に求めたとしても説明不可能です。

 節理が分子という単位と無関係なので、理解するためには物理の手法を変える必要があるのではないでしょうか。

 元素や分子という単位の認識が現代科学の要諦、物差しとなる基礎でしたが、もしかすると見ることのできる元素や分子ではなく、共鳴こそを物差しとして、物理を考えるべきなのかもしれません。
 みることのできない共鳴は、物理の対象にはなりずらいかもしれませんが、複素数を物理の数学に取り入れたように、有用だと思います。

 ところで結晶の形は三次元空間のフラクタルであるとみなせますが、結晶の辺の大きさはフラクタルの同形の繰り返しが辺の大きさの階層に表れているようにみえます。すなわち結晶にはフラクタル共鳴が観察できるのです。

 結晶は元素の位置が座標上の定点にとどまりますが、宇宙には座標上の定点に質点がとどまらなくても、やはりフラクタル共鳴らしい現象が見つかります。

 たとえば太陽の周りの惑星の公転運動は、太陽の天の川銀河に対する公転という距離スケールの階層を繰り返して公転運動をしています。

 この公転運動がフラクタル共鳴に見えます。

 御存じのように元素単位の原子核と電子の組にも公転と同じ原子模型があります。公転運動には距離のスケールに対するフラクタルの階層があるのです。

 また結晶と公転には共通点もあります。たとえばケプラーの法則で有名なケプラーは宇宙の調和という本で、公転を和音振動と見立てられることと、もうひとつ、公転の軌道径がケプラー立体という結晶に似た内接立体正多角形で見立たてられると述べています。共通点の存在にケプラーが気付き論じたのではないでしょうか。

 ところで万有引力は力の伝達に有限の伝搬速度が存在しています。また無限大速度なら重力波は存在できないでしょう。
 もし無限大速度で重力波が存在すれば、万有引力の公式によれば、2点間の距離が重力波によってそれ相当の変動をすることになります。すると宇宙にはどこにも一定の距離というものがなくなります。それは公転の維持がなされるはずのだいじな基盤を失うことになります。

 また、万有引力が有限の伝搬速度だと、必要な向き、必要な大きさに満たず、ちょうど良い瞬間よりも作用が遅れるということです。
 すると公転の楕円軌道に必要な求心力の方向が逸れ、暴投になるでしょう。求心力の大きさも常に不足してこれも暴投を招くでしょう。暴投は結局、楕円軌道の代わりに、渦巻き軌道を描くことになるでしょう。
 そして渦巻き螺旋は、ヒマワリの等角螺旋、植物のロマネスコの等角螺旋とおなじ等角螺旋を描くようにおもいます。


 万有引力の伝搬に有限速度なら等角螺旋を描くべき公転の軌道が、等角螺旋とならずに楕円軌道となるのはなぜか。私の興味を引きます。

 公転はもしかすると時間の結晶なのかもしれません。たて×よこ×たかさの三次元と時間を合わせた4つの次元は数式のなかで、次元として対等の重みをもつのだから、形状に結晶が表れるなら、時間にも結晶が表れるべきです。

 1次元線分上の結晶はフィボナッチ数。

 2次元面上の結晶は黄金比。

 3次元立体上の結晶は僕らが知っている結晶自身。

 4次元立体上の結晶は公転の楕円軌道・・・

の可能性もそれほどばかげてはいないでしょう。

 このような次元に対する階層性は超球にもあります。

n-次元超球体の体積率
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%A9%8D

  すると3次元の結晶に3次元の超球が含まれる予想がうまれます。

  実際にそういう物理現象があるのです。

 この超球の関数はたとえば黒体放射(空洞放射)の現象に含まれます。

 実際の黒体放射や空洞放射には球の形状が存在しないのに、3次元の球殻中に立方方眼の格子点が幾つ含まれるかという密度の計算のために、超球が用いられます。

 ところが球体も立方格子も黒体放射、空洞放射の実験装置には存在しません。

 球体を式に取り入れるのは、存在しない空想物を含めてはならぬ物理の原則に矛盾します。

 もちろん立方格子も実験装置には存在しないので、取り入れてはならぬ空想物です。

 空想物の2つを同心に座標を与えるのも、さらに黒体の方程式の矛盾の一つです。

 物理の方程式には常に現実の形状寸法を反映した数値以外を用いてはならない原則があります。

 物理の方程式には架空の空想物を含めてはならないのです。

 ところが、黒体放射の方程式には、現実の黒体や空洞や炉の形状にない球の形態が含まれているので大原則に違反している矛盾があります。

 矛盾は見落とした現象から発生しているのかもしれません。それは万物が共鳴しているという原理です。

 だから物理学者は、全ての現象の中に内在する共鳴があると予想をするべきだとは思いませんか。

 わたしはこれからその共鳴を証明したいと考え始めています。
 ご感想をいただければ幸いです。

投稿: masaban | 2017年7月24日 (月) 17時28分

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